Vídeo del baile de fin de curso 2014

RESUMEN EXAMEN TEMAS 11 Y 12 (FUNCIONES)

- FUNCIONES EXPONENCIALES: Son de la forma y=a^x, con a>0. Su dominio es R (todos los números) y su recorrido es (0,+∞). Son continuas en todos los puntos y siempre pasan por los puntos (0, 1) y (1, a). Si a>1, la función es creciente, de la forma:

 

Si a está entre 0 y 1, la función es decreciente, de la forma:

Para representarla, hacemos una tabla de valores. Por ejemplo podemos tomar el -2, -1, 0, 1 y 2.

Dentro de las exponenciales, tenemos la función y=e^x, donde e es un número con infinitos decimales que se aproxima a 2,718281… Para hacer la tabla de valores de esta función con la calculadora, tenemos que darle a SHIFT + ln + nº.

- FUNCIONES LOGARÍTMICAS: Son de la forma y=log_ax. Sus propiedades son:

* Dominio: (0,+∞), Recorrido: R (todos los números, es decir, desde muy abajo hasta muy arriba).

* Son continuas en su dominio, es decir, en (0, +∞).

* Siempre pasan por los puntos (1, 0) y (a, 1).

* No cortan al eje OY, ya que log_a0 no está definido, no existe.

* Si a>1, la función es creciente y si a está entre 0 y 1, la función es decreciente.

Se representan mediante una tabla de valores. Tomaremos los valores 0´1, 1, 2, 3, por ejemplo. Si la función es y=log(x – 3), tomaremos los valores 3´1, 4, 5, 6. Si la función es y=log(2x+8), tomaremos los valores – 3´9, - 3, - 2, - 1, 0.

Para saber qué valores tomar, igualamos 2x+8 a 0 y resolvemos la ecuación, tomamos valores mayores que la solución.

Si la base del logaritmo es 10 (y=log₁₀x), en la calculadora se pone log, si la base del logaritmo es otro número, por ejemplo 0´5, en la calculador tenemos que poner log(nº) ÷  log0´5.

- FUNCIÓN LOGARTIMO NEPERIANO

Un caso particular de estas funciones, son los logaritmos neperianos (de base e). Se representan, como las logarítmicas, con tabla de valores, pero en la calculadora pondremos ln en lugar de log.

RESUMEN EXAMEN TEMAS 11 Y 12 (FUNCIONES)

- FUNCIONES RACIONALES: Son las que tienen forma de fracción de polinomios y=P(x)/Q(x). Los pasos para representarlas son los siguientes:

1) Dominio: El dominio es R (todos los números) excepto los números que hacen 0 el denominador. Para ver qué números no pertenecen al dominio, tenemos que igualar el denominador a 0 y resolver la ecuación Q(x)=0. Los números que son solución no pertenecen al dominio, y en  la gráfica, haremos una asíntota vertical en cada uno de esos números (una asíntota vertical es una línea discontinua vertical a la que la función se acerca por arriba o por abajo, pero que no llega a atravesarla).

2) Cortes con los ejes:

Eje OX: Para calcular los cortes con el eje OX, se iguala el numerador a 0. P(x)=0 y se resuelve la ecuación. Las soluciones de la ecuación serán la primera coordenada de los puntos de corte (la segunda coordenada siempre es 0). Si las soluciones son x₁ y x₂, los puntos de corte son

(x₁, 0), y (x₂, 0).

Eje OY: Se sustituye en la función por el 0: P(0)/Q(0). Si nos da, por ejemplo 5, el punto de corte será (0, 5).

3) Tabla de valores: Tomaremos el 1000 y el – 1000 para ver qué hace la función en puntos muy a la derecha y muy a la izquierda. Si vemos que en el 1000 y el -1000 la función se acerca a un número, entonces en la gráfica haremos una asíntota horizontal (es una línea discontinua horizontal a la que la función se va a ir acercando muy a la izquierda y muy a la derecha, pero que muy a la izquierda y muy a la derecha no va a llegar a atravesarla). No podemos tomar en la tabla de valores los puntos que no estén en el dominio, pero sí podemos tomar puntos muy cercanos a ellos por la izquierda y derecha. Ejemplo, si el -1 no está en el dominio, tendremos que tomar el -0´9 y el -1´1. También tomaremos los puntos de corte con los ejes y si necesitamos algún punto más para ver cómo va la función, también lo tomamos.

4) Finalmente, la representamos teniendo en cuenta las asíntotas verticales, la asíntota horizontal y los puntos de corte con los ejes.

- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA: Son de la forma y=k/x donde k es un número distinto de 0. Son un caso particular de las racionales, las anteriores, pero las asíntotas son el eje OX (la asíntota horizontal) y el eje OY (la asíntota vertical), ya que es el 0 el punto que no está en el dominio, porque x no puede ser 0 (no se puede dividir entre 0). Tienen forma de hipérbola:

RESUMEN EXAMEN TEMAS 11 Y 12 (FUNCIONES)

-FUNCIONES LINEALES: Son de la forma y= mx + n. Se representa poniendo en el eje vertical el punto n (ordenada en el origen) y luego avanzamos hacia la derecha lo que me dice el denominador de m y subimos o bajamos lo que me dice el numerador de m. Cuando ya tengo los dos puntos, los unimos y sale una línea recta. Si la pendiente (m) es positiva la función es creciente, si es negativa la función es decreciente y si es cero, la función es constante (una línea horizontal).

- FUNCIONES CUADRÁTICAS: Son de la forma y= ax² + bx + c. Tienen forma de parábola (una “u” o un “puente”). Los pasos para representarlas son los siguientes:

1) Ver si las ramas de la parábola van hacia arriba (tendrá forma de “u”, si a es positivo), o hacia abajo (tendrá forma de “puente” si a es negativo).

2) Obtener el eje de simetría x= - b/(2a). En este eje, la función va a ser simétrica, por lo que en la tabla de valores cogemos puntos a la izquierda y a la derecha de este punto. También en la tabla de valores calculamos el valor de la función en este punto y nos dará el vértice de la parábola (el punto más bajo de la “u” o el más alto del “puente”.

3) Cortes con los ejes:

Eje OX: Tenemos que resolver la ecuación de 2º grado. Si las soluciones son x₁ y x₂, los puntos de corte serán (x₁,0) y (x₂,0).

Si la ecuación de 2º grado no tiene solución, no hay cortes con el eje OX.

Si la raíz cuadrada dentro de la resolución de la ecuación de 2º grado es cero, sólo nos da una solución, por tanto, sólo habrá un corte con el eje OX.

Eje OY: Será el punto (0, c). c es el término independiente, el que va sin x.

4) Tabla de valores: Tomamos los cortes con el eje OX, puntos a ambos lados de los cortes con el eje OX, el eje de simetría (calculado en el paso 2), y puntos a ambos lados del eje de simetría.

5) Finalmente, la representamos.

- FUNCIONES POLINÓMICAS: Tienen forma de polinomio, pero de grado mayor que 2, es decir, la x tiene que estar elevada a un número mayor de 2 en algunos de sus monomios. Los pasos para representarlas son:

            1) Cortes con los ejes:

Eje OX: Hacemos Ruffini. Pruebo los divisores del  término independiente y si me sale cero al final, son solución es decir, cortan al eje OX. Si x₁, x₂, x₃,… salen cero en Ruffini, los puntos de corte serán (x₁,0), (x₂,0), (x₃,0)...

Eje OY: Será el punto (0, c), donde c es el término independiente, el que va sin x.

2) Ver si es simétrica: Tomamos un número cualquiera y su opuesto (ejemplo el 1 y el – 1) y los sustituimos en la función. Si nos da el mismo resultado, es simétrica par. Si nos da el mismo número pero con distinto signo, es simétrica impar. Si no nos da el mismo número ni opuestos, no es simétrica.

3) Tabla de valores: Tomamos los cortes con el eje OX, puntos a ambos lados de los cortes y si vemos que nos faltan puntos para completar porque no sabemos muy bien cómo es, los tomamos también.

4) Finalmente representamos la función.

- FUNCIONES RADICALES: Se representan con una tabla de valores. En las raíces de índice impar (raíces cúbicas, raíces quintas,…) podemos tomar cualquier valor, ya que las raíces impares de números negativos sí existen. En las raíces de índice par (raíces cuadradas, cuartas,…) sólo podemos tomar valores que hagan que lo de dentro de la raíz sea positivo, por ejemplo, si la función es la raíz cuadrada de x-5, podremos tomar valores desde 5 en adelante, es decir, su dominio es [5, +∞). Además, en estas raíces de índice par, nos quedaremos sólo con el resultado positivo, ya que si tomamos los dos resultados, el positivo y el negativo, no sería una función, ya que para un solo valor de la x, habría dos valores de la y (en la tabla de valores).

Para calcular la raíz sexta de 8, por ejemplo, en la calculadora, se pone 6 SHIFT ^ 8, o también podemos poner 8 ^ (1÷6).

Aquí tenemos un enlace para ver funciones radicales:

http://www.vitutor.com/fun/2/c_10.html